「問題」と「課題」似ているようで違います。　(違うととらえています）

まずは語源から

問題　：　問いかけて答えさせる題。解答を要する問。等
課題　：　課せられた題・問題。任務

（広辞苑、角川類語新辞典）

以下のようにも言えるのではないでしょうか。

問題　：　解決策が不明である解決すべき事柄
課題　：　解決策のある解決すべき事柄

問題は、まだ解決策、解決方法が見つかっていない状態です。
問われている状態ですね。

課題は、解決策や解決方法が見つかっている状態です。
さらに字義からして、課せられているような義務感の伴う状態です。

問題（２）で問題の語源に当たってみました。
加えて、問題と課題の違いを踏まえてみてはいかがでしょうか。